充分必要条件
前言
充分必要条件的题目,其实质是〔左\(\Rightarrow\)右〕和〔左\(\Leftarrow\)右〕的推出关系是否成立。判定定理都是充分条件;性质定理都是必要条件;
推断方法
①充分必要条件的定义法;
②集合法;
③等价命题法;
典例剖析
①“\(a>b\)”是“\(a^2>b^2\)”的既不充分也不必要条件,和函数\(y=x^2\)的单调、奇偶有关;
②“\(a>b\)”是“\(a^3>b^3\)”的充要条件,和函数\(y=x^3\)的单调性有关;
③“\(a>b\)”是“\(|a|>|b|\)”的既不充分也不必要条件,和函数\(y=|x|\)的单调、奇偶有关;
分析:条件\(a >0,b >0,a^2+b^2 <1\)对应位于第一象限的单位圆内部的点的横纵坐标,故\(0< a<1\)且\(0< b<1\);
而结论\(ab+1>a+b\)等价于\((a-1)(b-1)>0\),即\(a>1,b>1\)
或者\(0< a<1,0< b<1(本题有前提条件)\);
故\(a^2+b^2<1\)能推出\(ab+1>a+b\),但反之不成立,选A。
法1:先看左\(\Longrightarrow\)右,由\(a > b>1\)可知,
\(ab>0,a-b>0,ab-1>0\),
\(a+\cfrac{1}{a}-b-\cfrac{1}{b}=(a-b)\cfrac{ab-1}{ab}>0\),
故\(a>b>1\)能推出\(a+\cfrac{1}{a}> b+\cfrac{1}{b}\);
再看右\(\Longrightarrow\)左,当\(a=\cfrac{1}{4},b=\cfrac{1}{2}\)时满足\(a+\cfrac{1}{a}>b+\cfrac{1}{b}\),
但是不满足\(a>b>1\),故是充分不必要条件。
法2:借助函数\(f(x)=x+\cfrac{1}{x}\),
则\(a+\cfrac{1}{a}>b+\cfrac{1}{b}\)即就是\(f(a)>f(b)\),
结合对勾函数的图像,很容易判定\(a>b>1\)能推出\(a+\cfrac{1}{a}>b+\cfrac{1}{b}\);
但是由\(a+\cfrac{1}{a}>b+\cfrac{1}{b}\)却不能推出\(a>b>1\)。
故是充分不必要条件。
分析:由于在区间\((0,\cfrac{\pi}{2})\)上,函数\(y=x>0\)和函数\(y=sinx>\)且两个都单调递增,
故\(y=x\cdot sinx\)在区间\((0,\cfrac{\pi}{2})\)上单调递增,
同理函数\(y=x\cdot sin^2x\)在区间\((0,\cfrac{\pi}{2})\)上单调递增,
且在区间\((0,\cfrac{\pi}{2})\)上,\(y=x\cdot sinx\)图像会高于\(y=x\cdot sin^2x\)的图像,
其图像会很类似\(y=x^2\)和\(y=x^3\)在\((0,1)\)段的大致图像。
故由\(xsin^2x<1\)不能推出\(y=xsinx<1\),
但是由\(y=xsinx<1\)能推出\(y=xsin^2x\)。
法2:区间\((0,\cfrac{\pi}{2})\)上,\(0< sinx <1\),故\(0< sin^2x < sinx <1\),
故\(xsin^2x < xsinx\),当\(xsinx <1\)时,必能推出\(xsin^2x <1\),
但是由\(xsin^2x <1\)并不能推出\(xsinx <1\),故选必要不充分条件。
分析:由于\(0<x<1\),则\(0<x^2<x<1\),由于\(sinx\)在\((0,1)\)上单调递增,故得到\(sinx^2<sinx\),即充分性成立;
若\(\cfrac{\pi}{2}<x<x^2<\pi\),则由于\(sinx\)在\((\cfrac{\pi}{2},\pi)\)上单调递减,必有\(sinx^2<sinx\),而由\(\cfrac{\pi}{2}<x<x^2<\pi\),
得到\(\cfrac{\pi}{2}<x<\sqrt{\pi}\),而不是得到\(0<x<1\),故必要性不成立,故选\(A\)。
分析:当\(a_1 < a_2 < a_3\)时,设公比为\(q\),则有\(a_1 < a_1q < a_1q^2\);
若\(a_1>0\),则有\(1< q< q^2\),得到\(q >1\),
此时\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\),指数型函数,单调递增;
若\(a_1<0\),则有\(1> q > q^2\),得到\(0< q <1\),
此时\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\),指数型函数,单调递增;
反之,当数列\(\{a_n\}\)是递增等比数列,必有\(a_1 < a_2< a_3\),
故选 C、充分必要条件 。
反思:由等比数列的通项公式可知,\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\)可知,
当\(a_1 >0且q >1\)或者\(a_1 <0且0< q <1\)时,\(a_n\)单调递增;
当\(a_1 <0且q>1\)或者\(a_1 >0且0< q <1\)时,\(a_n\)单调递减;
当\(q=1\)时为常数列,无单调性;
当\(q <0\)时为摆动数列,无单调性。
分析:由上述分析可知:\(a_n=a_1\cdot q^{n-1}\),指数型函数,
它的变化取决于两个要素,\(a_1\)和\(q\),故选D。
A、充分不必要条件 \(\hspace{2cm}\) B、必要不充分条件 \(\hspace{2cm}\) C、充分必要条件 \(\hspace{2cm}\) D、既不充分也不必要条件
分析:由\(a_n=dn+(a_1-d)\)可知,选C。
分析:由\(\cfrac{a}{b}>1\)两边平方,得到\(\cfrac{a^2}{b^2}>1\),即\(a^2>b^2\),即得到\(|a|>|b|\),而由\(|a|>|b|\)不能得到\(\cfrac{a}{b}>1\),
只要让\(a=1,b=0\),就能说明不能。故选\(A\).
法1:集合法,从形的角度,正面思考,考虑由\(x和y\)构成的点的集合,
这样问题就有了形的依托,\(x\neq 2 或y\neq 4\)表示平面内除过点\((2,4)\)之外的部分,记为集合A;
\(q:x+y\neq 6\)表示平面内除过直线\(x+y=6\)外的部分,记为集合B,
很显然有\(B\subseteq A\),故填写“必要不充分”条件。
法2:从数的角度,正面思考,令\(x=3,y=3\),不能推出\(x+y\neq 6\),
但是由\(x+y\neq 6\)能推出\(x\neq 2 或y\neq 4\),
故填写“必要不充分”条件。
法3:等价转化,正难则反,由于原命题和其等价命题同真同假,
故只要判断\(x+y=6\)是\(x=2且y=4\)的()条件即可。由\(x+y=6\)不能推出\(x=2且y=4\),
但是由\(x=2且y=4\)能推出\(x+y=6\),故填写“必要不充分”条件。
-
\(b=\sqrt{ac}\),是\(a、b、c\)成等比数列的既不充分也不必要条件;
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\(b=\sqrt{ac}(ac>0)\),是\(a、b、c\)成等比数列的充分不必要条件;
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\(b=\pm \sqrt{ac}\),是\(a、b、c\)成等比数列的必要不充分条件;
-
\(b=\pm \sqrt{ac}(ac>0)\),是\(a、b、c\)成等比数列的充分必要条件;
-
\(a_{n+1}=2a_n(n\in N^*)\)是\(\cfrac{a_{n+1}}{a_n}=2\)(或者数列\(\{a_n\}\)为等比数列)的必要不充分条件。
- 零点存在性定理是函数存在零点的充分不必要条件。
零点存在性定理要求函数在\([a,b]\)上连续,满足\(f(a)f(b)<0\),
则在\((a,b)\)内至少存在一个零点\(x_0\),使得\(f(x_0)=0\)成立。
为什么要求必须是连续函数,比如\(y=\cfrac{1}{x}\),在\([-1,1]\)内满足\(f(-1)f(1)<0\),
但是函数在\([-1,1]\)上没有零点。
若函数在\([a,b]\)上连续,不满足\(f(a)f(b)<0\),却不能说函数在\((a,b)\)内没有零点,
此时有可能是不变号零点,比如函数\(y=x^2\),在\([-1,1]\)上有\(f(-1)f(1)>0\),但是函数有零点\(x=0\)。
- 在某个区间内,对可导函数\(f(x)\)而言,\(f'(x)>0(f'(x)<0)\)是函数\(f(x)\)在这个区间单调递增(减)的充分不必要条件。
说明不必要性,比如函数\(y=x^3\)在R上单调递增,但是却满足\(f'(x)\ge 0\);
- 在某个区间内,对可导函数\(f(x)\)而言,\(f'(x)\ge 0(f'(x)\leq 0)\)是函数\(f(x)\)在这个区间单调递增(减)的必要不充分条件。
比如常函数\(f(x)=c(c为常数)\),满足\(f'(x)\ge0\),但是没有单调性,故充分性不成立;
若函数\(f(x)\)单调递增,则必有\(f'(x)\ge 0\),故必要性成立。
- 在某个区间内,对可导函数\(f(x)\)而言,“\(f'(x)\ge 0(f'(x)\leq 0)\)且在此区间的任意一个子区间内导函数都不恒为零”是函数\(f(x)\)在这个区间单调递增(减)的充要条件。
说明:在此区间的任意一个子区间内导函数都不恒为零,就排除了函数为常函数的可能。
例如,命题\(p\)为真命题,\(f(x)=\cfrac{1-2m}{x}\)在区间\((0,+\infty)\)上单调递减,求\(m\)的取值范围是________。
分析:由题目可知,
若\(p\)为真,则\(1-2m>0\),解得\(m<\cfrac{1}{2}\)(依托\(y=\cfrac{1}{x}\)的单调性);
辨析:本题目利用函数\(f(x)\)的单调性求参数的取值范围时,既可以利用单调性的性质,也可以利用导数法,但是导数法很容易出错。
导数法:由\(f(x)=\cfrac{1-2m}{x}\)在区间\((0,+\infty)\)上单调递减,则有
\(f'(x)=-(1-2m)\cfrac{1}{x^2}\leq 0\)在区间\((0,+\infty)\)上恒成立,
即\(2m-1\leq 0\),即\(m\leq \cfrac{1}{2}\),这个结果是错误的,
原因是缺少验证,当\(m=\cfrac{1}{2}\)时, 函数\(f(x)=0\)为常函数,
不符合题意,故舍去,即\(m<\cfrac{1}{2}\)。
- 在某个区间内,对函数\(f(x)\)而言,\(f'(x_0)=0\)是\(x_0\)为极值点的既不充分也不必要条件。
分析:比如函数\(f(x)=x^3\),在R上单调递增,无极值点,而\(f'(x)=3x^2\),\(f'(0)=0\),
但是很遗憾\(x=0\)不是极值点,应该是驻点和拐点,故充分性不成立;
若\(x_0\)为函数的极值点,也不能推出\(f'(x_0)=0\),因为函数的极值点有可能就不可导,
比如函数\(f(x)=|x|\),\(x=0\)是其极值点,但是函数在这一点(尖角点)并不可导。
- 在某个区间内,对可导函数\(f(x)\)而言,\(f'(x_0)=0\)是\(x_0\)为极值点的必要不充分条件。
说明:此时由于函数是可导函数,就排除了函数在\(x_0\)处不可导的情形,
故\(x_0\)为函数的极值点,能推出\(f'(x_0)=0\),必要性成立。
解析:函数\(f(x)=ax+3\)在\([-1,2]\)上存在零点等价于直线\(f(x)=ax+3\)在\([-1,2]\)上与\(x\)轴有交点,
则\(\begin{cases}a>0\\f(-1)=-a+3\leq 0\\f(2)=2a+3\ge0\end{cases}\)或\(\begin{cases}a<0\\f(-1)=-a+3\ge 0\\f(2)=2a+3\leq 0\end{cases}\)
解得\(a≥3\)或\(a≤-\cfrac{3}{2}\)。
等价命题
:方程\(ax+3=0\)在区间\([-1,2]\)上有解的充要条件是_______。
分析:题目这样变化后,求解过程和结果都和上述问题一样。
分析:比如常函数\(f(x)=c\)是周期函数,但是它没有最小正周期。
分析:将条件等价转化:存在负数\(\lambda\),
使得\(\vec{m}=\lambda \vec{n}\Leftrightarrow \theta=180^{\circ}\)"
将结论等价转化:\(\vec{m}\cdot \vec{n}<0\Leftrightarrow \theta\in(90^{\circ},180^{\circ}]\),
故此时能轻易判断选A。
分析:选B,先验证由后推前的命题,由于\((x_0,y_0)\)为这一组数据的样本中心点,故其满足线性回归方程;
但当我们验证由前推后的命题时,此时并不一定知道,\((x_0,y_0)\)为样本中心,故前不能推后,即为必要不充分条件。
这句话可以这样理解,样本中心一定满足线性回归方程,但满足线性回归方程的点不一定是样本中心,也可能是其他点。
分析:判断充分性,由题目可知,当存在集合\(C\),使得\(A\subseteq C\),\(B\subseteq C_UC\)时,
必有\(A\cap B=\varnothing\)成立,故充分性成立;
再判断必要性,当\(A\cap B=\varnothing\)成立时,\(U\)为全集,\(A、B\)为集合,
只要令\(A=C\)即能说明,必然存在集合\(C\),使得\(A\subseteq C\),\(B\subseteq C_UC\)成立,故必要性成立,
故选充要条件,C.
分析:充分性成立,原因"偶+偶=偶";必要性不成立,比如,\(h(x)=e^x+e^{-x}\)为偶函数,
但是\(f(x)=e^x\)和\(g(x)=e^{-x}\)都没有奇偶性;故选\(A\)。
"\(a^2+b^2 > c^2\)"是"\(\Delta ABC\)是锐角\(\Delta\)"的必要不充分条件;
"\(a^2+b^2 < c^2\)"是"\(\Delta ABC\)是钝角\(\Delta\)"的充分不必要条件。
"\(a^2+b^2= c^2\)"是"\(\Delta ABC\)是\(Rt\Delta\)"的充分不必要条件。
分析:方程要表示为双曲线,等价于\(\left\{\begin{array}{l}{8+a>0}\\{a-4>0}\end{array}\right.\)或者\(\left\{\begin{array}{l}{8+a<0}\\{a-4<0}\end{array}\right.\)
解得\(a<-8\)或\(a>4\)。故其充要条件为\(a\in (-\infty,8)\cup(4,+\infty)\)。
【引申】方程\(\cfrac{x^2}{8+a}-\cfrac{y^2}{a-4}=1\)表示椭圆的充要条件是________.
分析:先将方程变形为\(\cfrac{x^2}{8+a}+\cfrac{y^2}{-(a-4)}=1\),方程要表示为椭圆,
等价于\(\left\{\begin{array}{l}{8+a>0}\\{a-4<0}\\{8+a>-(4-a)}\end{array}\right.\),或\(\left\{\begin{array}{l}{8+a>0}\\{a-4<0}\\{8+a<-(4-a)}\end{array}\right.\),
解得\(-8<a<-2\)或\(-2<a<4\),故其表示椭圆的充要条件为\(a\in (-8,-2)\cup (-2,4)\).
补充:当\(a=-2\)时,方程表示圆;
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已知[仿二次]函数\(f(x)=ax^2+bx+c\ge 0\)在\(R\)上恒成立的充要条件是\(\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{\Delta\leq 0}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{a=b=0}\\{c\ge 0}\end{array}\right.\)。
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已知二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c\ge 0(a\neq 0)\)在\(R\)上恒成立的充要条件是\(\left\{\begin{array}{l}{a>0}\\{\Delta\leq 0}\end{array}\right.\);
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已知二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c\leq 0(a\neq 0)\)在\(R\)上恒成立的充要条件是\(\left\{\begin{array}{l}{a<0}\\{\Delta \leq 0}\end{array}\right.\);
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已知二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c\ge 0(a> 0)\)在\([m,n]\)上恒成立的充要条件的写法有两种形式:
其一是\(\left\{\begin{array}{l}{-\cfrac{b}{2a}\leq m}\\{f(m)\ge 0}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{-\cfrac{b}{2a}\ge n}\\{f(n)\ge 0}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{m<-\cfrac{b}{2a}<n}\\{f(-\cfrac{b}{2a})\ge 0}\end{array}\right.\);
其二是\(\Delta \leq 0\)或\(\left\{\begin{array}{l}{\Delta>0}\\{-\cfrac{b}{2a}\leq m}\\{f(m)\ge 0}\end{array}\right.\)或\(\left\{\begin{array}{l}{\Delta>0}\\{-\cfrac{b}{2a}\ge n}\\{f(n)\ge 0}\end{array}\right.\)
- 已知二次函数\(f(x)=ax^2+bx+c\leq 0(a> 0)\)在\([m,n]\)上恒成立的充要条件是\(\left\{\begin{array}{l}{f(m)\leq 0}\\{f(n)\leq 0}\end{array}\right.\);
分析:函数有唯一零点,即\(m=\cfrac{3x^2-1}{2x^3}=g(x)\)有唯一解,
即函数\(y=g(x)\)与\(y=m\)只有一个交点,
用导数求得单调性,做出函数的图像,由图像可知,
当\(m>1\)时,二者仅有一个交点,但仅有一个交点时,\(m>1\)或\(m<-1\) ,故得证。
分析:由\(cos2\theta=cos^2\theta-sin^2\theta\)可知,当\(sin\theta=cos\theta\)时,能推出\(cos2\theta=0\),故充分性成立;
但是当\(cos2\theta=0\)时,只能推出\(cos^2\theta=sin^2\theta\),并不能推出\(sin\theta=cos\theta\),故必要性不成立,
综上所述,选\(A\).
分析:由\(cos\theta=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\),得到\(A=\{\theta\mid\theta=2k\pi\pm \cfrac{\pi}{4}\}\),\(k\in Z\),由\(tan\theta=1\),得到\(B=\{\theta\mid\theta=k\pi+\cfrac{\pi}{4}\}\),\(k\in Z\),
由于\(A\not\subseteq B\),且\(B\not\subseteq A\),故填写既不充分也不必要条件。
解后反思:解三角方程,需要用到三角函数线。
分析:当\(a=1\)时,则\(f(x)=e^x-e^{-x}\),由\(f(-x)=-f(x)\),则\(f(x)\)是奇函数,即充分性成立;
若\(f(x)\)为奇函数,恒有\(f(-x)+f(x)=0\),转化为\((e^x+e^{-x})(\cfrac{1}{a}-a)=0\),解得\(a=\pm 1\), 故必要性不成立,
填写:充分不必要。
分析:先化简命题\(q\),由圆心\((0,0)\)到直线\(y=kx+2\)的距离为\(1\),即由\(d=r\)得到,\(\cfrac{|2|}{k^2+1}=1\),解得\(k=\pm \sqrt{3}\),或者联立消元后的方程\(x^2+(kx+2)^2=1\)的\(\Delta=0\),都可以得到\(k=\pm \sqrt{3}\),
法1:即\(p:k=\sqrt{3}\),\(q:k=\pm\sqrt{3}\),故\(p\Rightarrow q\),但是\(q\not\Rightarrow p\),故\(p\)是\(q\)的充分不必要条件,则\(\neg p\)是\(\neg q\)的必要不充分条件。故选\(B\).
法2:由上得到,\(\neg p:k\neq\sqrt{3}\),\(\neg q:k\neq\pm\sqrt{3}\),故由集合的包含关系可知,\(\neg p\not\Rightarrow \neg q\),但是\(\neg q\Rightarrow \neg q\),故\(\neg p\)是\(\neg q\)的必要不充分条件。故选\(B\).